In dieser Folge lernst du, wie man die Nullstellen von Parabeln bestimmt und welche Arten von Nullstellen es im Schnitt mit der x-Achse gibt. Außerdem erfährst du, wie man den Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse berechnet.
Die gemeinsamen Punkte einer Parabel und der Koordinatenachsen sind genau die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse und der y-Achse.
Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse
Die Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse sind die Punkte des Funktionsgraphen an den Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion, da an diesen Stellen die y-Koordinate null ist. Damit die Schnittpunkte ermittelt werden können, wird die Funktionsgleichung der Parabel f(x) = ax² + bx + c null gesetzt und dann die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 gelöst. Für die Lösung der Gleichung in allgemeiner Form gibt es eine Lösungsformel – die sogenannte "Mitternachtsformel" oder abc-Formel.
Diese Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist ein Werkzeug, mit dem man die Lösungen, bzw. Nullstellen einer quadratischen Gleichung in der Form ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 bestimmen kann.
Interaktiv: Ändere die Werte von c und beobachte die Auswirkung auf die Nullstellen.
Einfluss des Wertes c auf die Anzahl der Nullstellen
1. Beginne mit dem Wert c = - 8 und notiere die Anzahl der Nullstellen. 2. Erhöhe den Wert auf c = 0 und notiere ebenfalls die Anzahl der Nullstellen. 3. Beobachte die Verschiebung der Parabel für 0 < c < 4 und gib Auskunft über die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Beim Ablesen der Nullstellen kann es zu Ungenauigkeiten kommen. Deshalb sollten die Nullstellen zur exakten Bestimmung rechnerisch mit der Lösungsformel ermittelt werden.
Beispielaufgabe: Ermittlung der Nullstellen quadratischer Funktionen
Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionsterme und gib jeweils ihre Vielfachheit an.
Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse
Der Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse ist der Punkt, an dem der Graph der Parabel die y-Achse schneidet. Die y-Achse ist an der Stelle x = 0, deshalb wird zur Ermittlung des Schnittpunkts einer Parabel mit der y-Achse der Funktionswert f(0) = a(0)² + b(0) + c berechnet.
Beispielaufgaben: Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse
Beispielaufgabe 1:
Beispielaufgabe 2:
Die Funktionsgleichung
beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel.
Gib den Schnittpunkt der Parabel mit der y -Achse an.