Welche Arten quadratischer Gleichungen gibt es? Welche Methoden zur Lösung können angewendet werden, und wie lautet die allgemeine Lösungsformel, die sogenannte "Mitternachtsformel"? Außerdem erfährst du, welche Bedeutung die Diskriminante hat und was sie über die Lösungen quadratischer Gleichungen aussagt.
Quadratische Gleichungen lassen sich einteilen in
- reinquadratische Gleichungen
- gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied oder
- gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied (allgemeine Form).
Für die Lösungen dieser quadratischen Gleichungen gibt es verschiedene Methoden, die im Folgenden erläutert werden.
Reinquadratische Gleichungen
Eine reinquadratische Gleichung liegt vor, wenn der Term nur ein quadratisches Glied und ein absolutes Glied hat.
Das Lösen reinquadratischer Gleichungen besteht im Wesentlichen darin, die Wurzel zu ziehen. Dabei müssen jedoch stets die zwei möglichen Vorzeichen der Lösung berücksichtigt werden.
Beispielaufgabe: Lösungen einer reinquadratischen Gleichung
Ermittle die Lösungen der reinquadratischen Gleichungen:
a) ax² + c = 0
b) -3x² + 27 = 0
Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied
Eine gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied liegt vor, wenn der Term aus einem quadratischen Glied und einem linearen Glied besteht.
Das Lösen gemischtquadratischer Gleichungen ohne Absolutglied erfolgt durch Ausklammern der Variablen „x“ und die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt.
Lösungsschema:
- Eine Gleichung der Seite muss gleich null sein.
- Variable x ausklammern.
- Satz vom Nullprodukt anwenden.
- Ein Produkt ist immer dann null, wenn ein Faktor null ist.
- Lösungsmenge bestimmen.
Beispielaufgabe: Lösungen einer gemischtquadratischen Gleichung ohne Absolutglied
Ermittle die Lösungen der gemischtquadratischen Gleichungen:
a) ax² + bx = 0
b)3x² = -6x
Gemischtquadratische Gleichung mit Absolutglied
Eine gemischtquadratische Gleichung mit Absolutglied liegt vor, wenn der Term aus einem quadratischen Glied, einem linearen Glied und einem Glied ohne die Variable x besteht, das als Absolutglied bezeichnet wird. Diese Gleichung wird auch als allgemeine Form der quadratischen Gleichung bezeichnet.
Für die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung gibt es eine spezielle Lösungsformel, die sogenannte "Mitternachtsformel". Mit dieser Formel lassen sich die Lösungen, also die Nullstellen, einer quadratischen Gleichung der Form
ax² + bx + c = 0; a ≠ 0
bestimmen. Dabei handelt es sich um die Werte von x, für die die Gleichung wahr ist.
Lösungsformel für quadratische Gleichungen – die "Mitternachtsformel"
Eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 hat die Lösung
Der Term b² - 4ac heißt Diskriminante D. Mit ihrer Hilfe kann man entscheiden, ob und wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt. Es gilt
Beispielaufgabe: Quadratische Gleichung in allgemeiner Form
Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichung 2x² - 6x = 20
Beispielaufgabe: Bestimmung der Nullstellen
Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichung 4x² - 8x + 4 = 0
Beispielaufgabe: Lösen einer quadratischen Gleichung
Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichung x² - 2x = -2