In dieser Folge lernst du, wie du von der Scheitelpunktform der quadratischen Gleichung zur allgemeinen Form der quadratischen Gleichung kommst und umgekehrt, also von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform.
Der Funktionsterm einer quadratischen Funktion kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden – je nachdem, was es zu analysieren oder zu berechnen gilt.
Die verschiedenen Darstellungsformen sind:
Allgemeine Form
f(x) = ax² + bx + c
Standardform der quadratischen Funktion
a, b, c sind reelle Zahlen; a ≠ 0
zeigt den Verlauf der Funktion, Schnittpunkt mit der y-Achse S(0|c) kann bestimmt werden.
Scheitelpunktform
f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ
Scheitelpunkt S(xₛ|yₛ) kann direkt abgelesen werden.
vorteilhaft für das Zeichnen und Verschieben der Parabel.
Faktorisierte Form (Produktform / Nullstellenform)
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
zeigt direkt die Nullstellen x₁ und x₂ an.
Funktionswert = 0, wenn x = x₁ oder x = x₂ (Satz vom Nullprodukt).
Funktionsgraph
Eine weitere Darstellungsform einer quadratischen Funktion ist der Funktionsgraph.
Parabel im Koordinatensystem
Öffnung nach oben, wenn a > 0; nach unten, wenn a < 0 ist.
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel.
Die Symmetrieachse ist die senkrechte Linie durch den Scheitelpunkt.
Die quadratische Funktionsgleichung liegt jedoch nicht immer in der gewünschten Form vor, deshalb ist es vorteilhaft, die quadratische Funktionsgleichung in eine andere Form umzuwandeln.
Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form
Die Umwandlung von der Scheitelpunktform: f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ zur allgemeinen Form: f(x) = ax² + bx + c geschieht durch Auflösen der quadratischen Klammer (1. oder 2. Binom) und dann Zusammenfassen der Terme.
Beispielaufgabe: Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form
Gib aus der Scheitelpunktform
den Scheitelpunkt an, stelle die Funktionsgleichung in allgemeiner Form dar und gib den Schnittpunkt mit der y-Achse an.
Von der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform
Für die Umwandlung der quadratischen Gleichung: f(x) = ax² + bx + c in die Scheitelpunktform: f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ gibt es zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1: Quadratische Ergänzung (siehe dazu Folge 15)
Die Umwandlung geschieht in 5 Schritten. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
Schritt 1: Koeffizient a vor den Termen mit x ausklammern
Schritt 3: Ergänze diesen Term in der Gleichung und ziehe ihn gleich wieder ab
Schritt 4: Die ersten drei Terme als binomisches Quadrat schreiben
Schritt 5: Klammer auflösen und zusammenfassen
Scheitelpunktform:
Scheitelpunktkoordinaten der Parabel
Beispielaufgabe: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen
Möglichkeit 2: Scheitelpunktform durch Ermitteln der x-Koordinate des Scheitels
Beispielaufgabe: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen
Die folgende Funktionsgleichung soll in der Scheitelpunktform dargestellt werden: