1. Analysis

kolleg24 Mathematik | Folge 15

Quadratische Ergänzung

Stand

Von Autor/in Josef Dillinger, Dr. Jochen Trenner

In dieser Folge lernst du, wie du durch quadratische Ergänzung von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung gelangst. Außerdem erfährst du, wie sich die Scheitelpunktform auch ohne quadratische Ergänzung erstellen lässt.

Durch quadratische Ergänzung kommt man von der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung:
f(x) = ax² + bx + c
zur Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ

Aus der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt (xₛ | yₛ) der Parabel direkt abgelesen werden.

Scheitelpunktform der Normalparabel durch quadratische Ergänzung

Die Umwandlung der Normalenform in die Scheitelpunktform geschieht in 4 Schritten.

Normalenform: f(x) = x² + bx + c

Schritt 1: Die Hälfte von b nehmen und quadrieren

Halbiere  b :   b 2

Quadriere:  ( b 2 ) 2

Schritt 2: Ergänze diesen Term in der Gleichung und ziehe ihn gleich wieder ab

f ( x ) = x 2 + b x + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c

Schritt 3: Die ersten drei Terme als binomisches Quadrat schreiben

f ( x ) = x 2 + b x + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c = ( x + b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c

Schritt 4: In einer Klammer zusammenfassen

f ( x ) = ( x + b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c = ( x + b 2 ) 2 + ( c − b 2 4 )

Scheitelpunktform:  f ( x ) = ( x + b 2 ) 2 + ( c − b 2 4 )

Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

x -Koordinate des Scheitels :   x s = − b 2     y -Koordinate des Scheitels :   y s = c − b 2 4 }  Scheitelpunkt S ( − b 2 | c − b 2 4 )

Beispielaufgabe: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Stelle die Funktionsgleichung f(x) = x² + 6x + 2 in der Scheitelpunktform dar.

Von der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform

Die Umwandlung der quadratischen Gleichung:
f(x) = ax² + bx + c
in die Scheitelpunktform
f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ
geschieht in 5 Schritten.

Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c

Schritt 1: Koeffizient a vor den Termen mit x ausklammern

f ( x ) = a ( x 2 + b a x ) + c

Schritt 2: Die Hälfte von  b a    nehmen und quadrieren

Halbiere  b a :   b 2 a   ; Quadriere:  ( b 2 a ) 2 =   b 2 4 a 2

Schritt 3: Ergänze diesen Term in der Gleichung und ziehe ihn gleich wieder ab

f ( x ) = a ( x 2 + b a x + b 2 4 a 2 − b 2 4 a 2 ) + c

Schritt 4: Die ersten drei Terme als binomisches Quadrat schreiben

f ( x ) = a ( ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 ) + c

Schritt 5: Klammer auflösen und zusammenfassen

f ( x ) = a ( x + b 2 a ) 2 − a · b 2 4 a 2 + c

= a ( x + b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a )

Scheitelpunktform:

f ( x ) = a ( x + b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a )

Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

x − Koordinate des Scheitels :   x s = − b 2 a     y − Koordinate des Scheitels :   y s = c − b 2 4 a }  Scheitelpunkt S ( − b 2 a | c − b 2 4 a )

Beispielaufgabe: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Bringe Funktionsgleichung f(x) = 2x² + 8x + 5 in die Scheitelpunktform.

"Einfache" Ermittlung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Es gibt eine einfache  und  unkomplizierte  Methode,  die  Scheitelpunktform  einer   quadratischen  Gleichung aus der  allgemeinen  Form  zu  ermitteln.  Mit Hilfe der  quadratischen  Ergänzung  wurden  die   Scheitelpunktkoordinaten

x s = − b 2 a   und  y s = c − b 2 4 a = f ( x s )   bestimmt.

Dieses Ergebnis  kann  nun  für die  Ermittlung  der  Scheitelpunktform  herangezogen  werden.  Die Umwandlung  der  quadratischen  Gleichung  f ( x ) = a x 2 + bx + c  in  die  Scheitelpunktform  f ( x ) = a ( x − x s ) 2 + y s   geschieht  in 3  Schritten.

Beispielaufgabe 1: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Stelle die Funktionsgleichung f(x) = 2x² + 8x + 5 in der Scheitelpunktform dar.

Beispielaufgabe 2: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Bringe die Funktionsgleichung f(x) = x² + 6x + 2 in die Scheitelpunktform.

Übung zu Quadratische Ergänzung

Stand
Autor/in
Josef Dillinger
Dr. Jochen Trenner