Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel

In dieser Folge werden anhand von Beispielaufgaben das Volumen und die Oberfläche einer Pyramide sowie eines Kegels berechnet.

Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Das Volumen einer Pyramide ist der Raum, den die Pyramide im dreidimensionalen Raum einnimmt. Es gibt an, wie viel Platz sie innerhalb ihrer Begrenzungen hat.

Die Oberfläche einer Pyramide ist die gesamte Fläche, die die Pyramide umschließt. Sie setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

• Grundfläche G – die untere Fläche der Pyramide (z. B. Quadrat, Rechteck oder Dreieck).
• Mantelfläche M – die Summe der Flächen aller seitlichen Dreiecke.

Quadratische Pyramide

$$\text{Grundfläche }G:G=a·a=a^2$$

$$\text{Volumen }V:V= \frac{1}{3}·G·h= \frac{1}{3}·a^2·h$$

$$\text{Mantelfläche }M:M=2·a·h_{\mathrm{s}}$$

$$\text{Oberfläche }O:O=a·(a+2·h_{\mathrm{s}})$$

Beispiel: Quadratische Pyramide

Ermittle das Volumen und die Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge a = 6 cm und h = 10 cm.

Rechteckige Pyramide

$$\text{Grundfläche }G: G=l·b$$

$$\text{Volumen}V\text{: }V= \frac{1}{3}·G·h=\frac{1}{3}·l·b·h$$

$$\text{Mantelfläche}M: M=l· h_{\mathrm{s}} +b· h_{\mathrm{s}}$$

$$\text{Oberfläche }O: O=l·b+l· h_{\mathrm{s}} +b· h_{\mathrm{s}}$$

Beispiel: Rechteckige Pyramide

$$\text{Eine }\text{Pyramide }\text{mit }\text{rechteckiger }\text{Grundfläche }\text{hat }\text{eine }\text{Höhe }h=9\text{ dm, }\text{die }\text{Seitenlänge }l=8\text{ dm }\text{und }\text{die }\text{Breite }b=6\text{ dm. }$$

$$\text{Berechne }\text{das}\text{ Volumen }\text{der }\text{Pyramide }\text{und }\text{die }\text{Mantelfläche, }\text{wenn }{h}_{\mathrm{\text{sl}}}=10\text{ dm (Höhe}\text{ auf }l)\text{ und }{h}_{\mathrm{\text{sb}}}=8\text{ dm (Höhe auf }b)\text{ betragen.}$$

Dreieckspyramide (Tetraeder)

$$\text{Grundfläche }G\text{: }G=\frac{1}{2}·s·h_{\mathrm{s}}$$

$$\text{Volumen}V\text{: }V= \frac{1}{3}·G·h=\frac{1}{6}·s·h_{\mathrm{s}}·h$$

$$\text{Mantelfläche}M\text{: }M = \frac{3}{2}·s·h_{\mathrm{s}}$$

$$\text{Oberfläche }O: O=2·s·h_{\mathrm{s}}$$

Beispiel: Tetraeder

$$\text{Eine }4\text{ Dezimeter }\text{hohe }\text{gleichseitige }\text{Dreieckspyramide }\text{hat }\text{ein}\text{ Volumen }\text{von }3\sqrt{3}\text{ Kubikdezimeter.}$$

Ermittle die Oberfläche O und die Seitenlänge s des Tetraeders.

Volumen und Oberfläche eines Kegels

Das Volumen eines Kegels ist der Rauminhalt, den der Kegel im dreidimensionalen Raum einnimmt.

Die Oberfläche eines Kegels ist die gesamte Fläche, die der Kegel umschließt. Sie setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

Grundfläche G: die untere (Boden-)Fläche des Kegels, ein Kreis mit dem Radius r
Mantelfläche M: ein Kreisausschnitt mit der Mantellinie s als Radius

$$\text{Grundfläche }G:G=\pi r^2$$

$$\text{Volumen }V: V= \frac{1}{3}G·h= \frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

$$\text{Mantelfläche }M:M=\pi rm$$

$$\text{Oberfläche }O:O=G+\pi ·r·m=\pi r(r+m)$$

$$\text{Mantellinie }m:m= \sqrt{r^2+h^2}$$

Beispiel: Kegel

Ermittle für einen Kegel, bei dem Durchmesser und Höhe die gleiche Maßzahl haben,

a) das Volumen und die Oberfläche.
b) Wie ändert sich das Volumen, wenn der Radius verdoppelt wird?

Beispiel: Filtertüte

Eine Kaffeefiltertüte hat einen Durchmesser d = 10 cm und eine Mantellinie der Länge m = 12 cm.

a) Ermittle das Fassungsvermögen der Filtertüte in cm³ und Liter, wenn sie vollständig mit Flüssigkeit gefüllt wird.
b) Bestimme die Maßzahl der Fläche des Filterpapiers in cm², wenn für die Verbindungsnaht und den Zuschnitt eine Zugabe von 10 % eingeplant ist.

Übung: Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel