Aufgabe 1 Erläutere, was man unter dem Begriff Nullstelle versteht und wie man sie berechnet.
Lösung
An einer Nullstelle schneidet der Graph einer Funktion die x -Achse. Es ist eine Stelle bzw. x -Koordinate, an der die zugehörige y -Koordinate, also der Funktionswert, null ist. f mit f : y = mx + t erhält man, indem man die Lösung der linearen Gleichung mx + t = 0 nach x auflöst
Aufgabe 2 Bestimme jeweils die Nullstelle folgender Funktionen:
Lösung zu a)
Nullstelle bedeutet: Schnittstelle mit der x -Achse ⇒ y = 0.
f ( x ) = 2 x − 4 = 0 ; 2 x = 4 ; x = 4 2 = 2 ;
Die Nullstelle ist x = 2 .
Lösung zu b)
g ( x ) = 3 2 x − 3 = 0 ; 3 2 x = 3 ; x = 3 · 2 3 = 2 ;
Die Nullstelle ist x = 2 .
Lösung zu c)
h ( x ) = − 3 2 x + 3 = 0 ; − 3 2 x = − 3 ;
x = − 3 · ( − 2 3 ) = 2 ;
Die Nullstelle ist x = 2 .
Lösung zu d)
j ( x ) = 2 5 x − 2 = 0 ; 2 5 x = 2 ; x = 2 · 5 2 = 5 ;
Die Nullstelle ist x = 5 .
Aufgabe 3 Bestimme jeweils die Schnittpunkte der Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
Lösung zu a)
Schnittpunkt mit der x -Achse ⇒ y = 0 y -Achse ⇒ x = 0
x − Achse : − 2 x + 4 = 0 ; − 2 x = − 4 ;
x = − 4 − 2 = 2 ⇒ S x ( 2 | 0 )
y − Achse : f ( 0 ) = − 2 · 0 + 4 = 0 + 4 = 4
Lösung zu b)
x − Achse : 3 5 x − 3 = 0 ; 3 5 x = 3 ;
x = 3 · 5 3 = 5 ⇒ S x ( 5 | 0 )
y − Achse : g ( 0 ) = 3 5 · 0 − 3 = 0 − 3 = − 3
Lösung zu c)
x − Achse : − 3 7 x + 3 = 0 ; − 3 7 x = − 3 ;
x = − 3 · ( − 7 3 ) = 7 ⇒ S x ( 7 | 0 )
y − Achse : h ( 0 ) = − 3 7 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3
Lösung zu d)
x − Achse : − 4 5 x − 2 = 0 ; − 4 5 x = 2 ;
x = 2 · ( − 5 4 ) = − 2,5 ⇒ S x ( − 2,5 | 0 )
y − Achse : j ( 0 ) = − 4 5 · 0 − 2 = 0 − 2 = − 2
Aufgabe 4
Die Gleichung f ( x ) = − 3 5 x + 3 ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion f , deren Graph G f eine Gerade ist .
a) Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen.
b) Erkläre, warum es sich beim Schnittpunkt einer Geraden mit der x-Achse eigentlich um den Schnittprunkt zweier Geraden handelt.
c) Zeichne die Gerade G f in ein rechtwinkliges Koordinatensystem .
Lösung zu a)
Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen ist der Schnittpunkt S y mit der y − Achse und der Schnittpunkt S x mit der x − Achse .
Schnittpunkt mit der y-Achse ⇒ x = 0
f ( 0 ) = − 3 5 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3 ; S y ( 0 | 3 )
Schnittpunkt mit der x-Achse ⇒ y = f(x) = 0
− 3 5 x = − 3 | · ( − 5 3 )
Lösung zu b)
Die x -Achse ist eine Gerade mit der Funktionsgleichung y = 0. y = f (x ) = 0 gesetzt. y -Koordinaten gleich.
In unserem Beispiel also:
y = f ( x ) ⇒ 0 = − 3 5 · x + 3 .
Die Lösung der Gleichung ist dann die x -Koordinate des Schnittpunkts.
Lösung zu c)
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind bestimmt, somit kann die Gerade G f gezeichnet werden.
BR; www.geogebra.org
Aufgabe 5
Stelle fest, für welchen x − Wert die Funktion f mit f ( x ) = 1 3 · x + 2
a) den Funktionswert 1 annimmt.
Lösung zu a)
f (x ) = 1
Für x = -3 besitzt die Funktion f den Wert 1.
Lösung zu b)
Der Ansatz 1 3 · x + 2 = 1 liefert den Schnittpunkt zweier Geraden f : y = 1 3 x + 2 und g : y = 1 .
BR; www.geogebra.org
Aufgabe 6
Bestimme für die Funktionen
f mit f ( x ) = 1 2 · x + 2 und
g mit g ( x ) = − 2 x − 3
a) die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. f und g in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Lösung zu a)
Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen:
Schnittpunkt mit der x-Achse ⇒ y = 0
x − Achse : 1 2 · x + 2 = 0 ; 1 2 · x = − 2 ;
x = − 2 · 2 = − 4 ⇒ S x ( − 4 | 0 )
y − Achse : f ( 0 ) = 1 2 · 0 + 2 = 0 + 2 = 2 ;
x − Achse : − 2 x − 3 = 0 ; − 2 x = 3 ;
x = 3 − 2 = − 1,5 ⇒ S x ( − 1,5 | 0 )
y − Achse : g ( 0 ) = − 2 · 0 − 3 = 0 − 3 = − 3 ;
Lösung zu b)
Schnittpunkt S der beiden Geraden:
f (x ) = g (x )
1 2 · x + 2 = − 2 x − 3 | − 2
1 2 · x = − 2 x − 5 | + 2 x
5 2 · x = − 5 | · ( 2 5 )
x = -2
f oder g einsetzen:
g (-2) = -2 ∙ (-2) - 3 = 4 - 3 = 1 ⇒ S(-2|1)
Lösung zu c)
Mit Hilfe der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen können die Geraden gezeichnet werden und der Schnittpunkt S kann abgelesen werden.
BR; www.geogebra.org