In dieser Folge lernst du die möglichen Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Parabel kennen. Was sind Sekanten, Tangenten und Passanten? Außerdem erfährst du, wie du die gemeinsamen Punkte einer Geraden und einer Parabel bestimmst.
Zwischen einer Geraden und einer Parabel können drei grundlegende Beziehungen bestehen. Sie können sich schneiden, sie können sich berühren oder sie haben keine gemeinsamen Punkte miteinander.
Einfluss des Wertes t auf die Anzahl der Schnittpunkte
Interaktiv: Ändere die Werte von t und beobachte die Auswirkung auf die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel.
1. Beginne mit dem Wert t = 2 und notiere die Anzahl der Schnittpunkte. 2. Bewege den Schieberegler auf t = - 1,5 und notiere ebenfalls die Anzahl der Schnittpunkte. 3. Bewege den Schieberegler nun auf t = - 3 und notiere deine Beobachtung.
Die Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel werden bestimmt, indem man die Funktionsterme gleichsetzt. Denn wenn es gemeinsame Punkte gibt, dann müssen sie an der Stelle x den gleichen y-Wert haben. So geht man dabei vor:
Sekante
Eine Sekante (vom lateinischen secare = "schneiden") ist eine Gerade, die zwei Schnittpunkte mit einem Graphen hat.
Bei einer Parabel bedeutet das:
Die Sekante schneidet die Parabel in zwei verschiedenen Punkten.
Diese beiden Punkte sind gemeinsame Lösungen der Parabelgleichung und der Geradengleichung.
Beispielaufgabe: Ermittlung der Lagebeziehung von Parabel und Gerade
Untersuche die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x² + 3x -1 und die Gerade mit der Funktionsgleichung g(x) = x + 2 auf gemeinsame Punkte.
Tangente
Eine Tangente (vom lateinischen tangere = "berühren") zwischen einer Geraden und einer Parabel ist eine besondere Gerade, die die Parabel in genau einem Punkt berührt. Es gibt also genau einen Schnittpunkt, die Linien der Graphen kreuzen sich nicht.
Wichtige Merkmale einer Tangente an einer Parabel:
Genau ein gemeinsamer Punkt mit der Parabel
Die Gleichung f(x) = g(x) hat nur eine Lösung.
Die Diskriminante D = 0 bei der Gleichung f(x) = g(x)
Beispielaufgabe: Ermittlung der Lagebeziehung von Parabel und Gerade
Untersuche die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)= -x² + 3x + 4 und die Gerade mit der Funktionsgleichung g(x) = -3x + 13 auf gemeinsame Punkte.
Passante
Der Begriff Passante (vom Französischen passer = "vorbeigehen") bezeichnet in der Mathematik eine Gerade, die eine Kurve nicht schneidet und nicht berührt. Sie ist also eine Gerade, die an einer Kurve vorbeigeht, und demnach keinen gemeinsamen Punkt mit der Kurve hat.
Wichtige Eigenschaften von Parabel und Gerade:
Keine Schnittpunkte mit der Kurve
Kein Berührpunkt
Verläuft "außerhalb" der Kurve
Beim Vergleich einer Geraden mit einer Parabel bedeutet das:
Die Gleichung f(x) = g(x) hat keine Lösung. Die Diskriminante ist negativ: D < 0
Beispielaufgabe: Ermittlung der Lagebeziehung von Parabel und Gerade
Zusatzaufgabe: Ermittlung vertikaler Abstand zwischen Parabel und Gerade
Ermittle den vertikalen Abstand d zwischen der Parabel und der Geraden an den Stellen x = 0 und x = 2