Aufgabe 1 Gib die Nullstellen folgender Terme an:
a) ( x − 3 ) ( 2 − x ) = 0
b) 1 3 x ( − 6 x + 3 ) = 0
c) ( 2 3 x − 3 4 ) ( 3 2 x + 4 3 ) = 0
Lösung zu a)
Zur Lösung des Produkts wird jeder Faktor einzeln null gesetzt und die Lösung bestimmt.
(x - 3) (2-x ) = 0
x - 3 = 0 | +3x ₁ = 3
2 - x = 0 | +x x ₂ = 2
L = {2; 3}
Lösung zu b)
Zur Lösung des Produkts wird jeder Faktor einzeln null gesetzt und die Lösung bestimmt.
b) 1 3 x ( − 6 x + 3 ) = 0
1 3 x = 0 ⇔ x = 0
x 1 = 0
− 6 x + 3 = 0 | + 6 x
3 = 6 x | : 6
x 2 = 3 6 = 1 2
L = { 0 ; 1 2 }
Lösung zu c)
Zur Lösung des Produkts wird jeder Faktor einzeln null gesetzt und die Lösung bestimmt.
c) ( 2 3 x − 3 4 ) ( 3 2 x + 4 3 ) = 0
2 3 x − 3 4 = 0 | + 3 4
2 3 x = 3 4 | . 3 2
x 1 = 9 8
3 2 x + 4 3 = 0 | − 4 3
3 2 x = − 4 3 | . 2 3
x 2 = − 8 9
L = { − 8 9 ; 9 8 }
Aufgabe 2 Ein Busunternehmer beschreibt seine monatlichen Einnahmen im vergangenen Jahr mit der folgenden Gleichung: T(x ) = - 0,12 (x - 1) ∙ (x - 9) = 0 mit x ∈ {1; 2; …; 12} Ermittle die Monate, in denen der Unternehmer im letzten Jahr weder Gewinn noch Verlust gemacht hat.
Lösung
Der Busunternehmer macht weder Gewinn noch Verlust, wenn T(x ) = 0 ist, deshalb ist die quadratische Gleichung - 0,12 (x - 1) ∙ (x - 9) = 0 zu lösen. Zur Lösung des Produkts wird jeder Faktor einzeln null gesetzt und die Lösung bestimmt.
- 0,12 (x - 1) (x - 9) = 0
x -1 = 0 |+1 x ₁ = 1
x - 9 = 0 | + 9 x ₂ =9
L = {1; 9}
Aufgabe 3 Ermittle die Lösungsmenge folgender quadratischer Gleichungen:
a) x 2 = 6 x
b) 3 4 x 2 − 3 x = 0
c) 3 x 2 − 5 x + 4 = x + 4
Lösung zu a)
x ² = 6x | eine Seite = 0 x ² = 6x | - 6x 0 | ausklammernx (x - 6) = 0 | Nullproduktx ₁ = 0x - 6 = 0 | + 6x ₂ = 6L = {0; 6}
Lösung zu b)
b) 3 4 x 2 − 3 x = 0 | ausklammern
x ( 3 4 x − 3 ) = 0 | Nullprodukt
x 1 = 0
3 4 x − 3 = 0 | + 3
3 4 x = 3 | · 4 3
x 2 = 4
L = { 0 ; 4 }
Lösung zu c)
3x ² - 5x + 4 = x + 4 | eine Seite = 0 x ² - 5x + 4 = x + 4 | - x - 4 0 | ausklammernx (3x - 6) = 0 | Nullproduktx ₁ = 0x - 6 = 0 | + 6x ₂ = 2L = {0; 2}
Aufgabe 4 Ein Fußballtorwart führt einen Abschlag aus. Die Flugbahn des Balls, insbesondere seine Höhe, wird durch die Funktionsgleichung f(x )= - 0,04x ² + 2,09x beschrieben. Dabei steht die Variable x für die horizontale Entfernung in Metern. Bestimme, wie weit der Ball in x -Richtung fliegt, bis er den Boden berührt.
Lösung
Wenn der Ball auf den Boden trifft, gilt f(x ) = 0, deshalb muss man hier die quadratische Gleichung x² + 2,09x = 0 lösen.
- 0,04x ² + 2,09x = 0 | ausklammernx (-0 ,04x + 2,09) = 0 | Nullproduktx ₁ = 0 (Ort des Abschlags)x + 2,09 = 0 | - 2,09x = - 2,09 | : (- 0,04)
x 2 = − 2,09 − 0,04 = 52,25 (Entfernung vom Abschlagsort beim Auftreffen)
Der Ball fliegt nach dem Abschlag 52,25 Meter weit.
Aufgabe 5 Löse folgende quadratischen Gleichungen und gib die Lösungsmenge an:
a) 49 − x 2 = 0
b) 2 x 2 − 72 = 0
c) 2 x 2 − 6 x = 1 2 ( 100 − 12 x )
Lösung zu a)
49 − x 2 = 0 | + x 2
49 = x 2 |
x = ± 7
⇒ x 1 = 7 ; x 2 = − 7
L = { − 7 ; 7 }
Lösung zu b)
2 x 2 − 72 = 0 | + 72
2 x 2 = 72 | : 2
x 2 = 36 |
x = ± 6
⇒ x 1 = 6 ; x 2 = − 6
L = { − 6 ; 6 }
Lösung zu c)
2 x 2 − 6 x = 1 2 ( 100 − 12 x ) | · 2
4 x 2 − 12 x = 100 − 12 x | + 12 x
4 x 2 = 100 | : 4
x 2 = 25 |
x = ± 5
⇒ x 1 = 5 ; x 2 = − 5
L = { − 5 ; 5 }
Aufgabe 6 Gib zwei reinquadratische Gleichungen an, die x ₁ = - 8 und x ₂ = 8 als Lösung haben und beschreibe dein Vorgehen.
Lösung
Damit es bei rein quadratischen Gleichungen als Lösung x ₁ = - 8 und x ₂ = 8 gibt, muss das Quadrat von - 8 bzw. 8 gebildet werden.x ² = 64 x ² = 128
Aufgabe 7
Eine Faustformel für den näherungsweisen Bremsweg s (in Metern) lautet s = ( x 10 ) 2
und für den verschärften Bremsweg (Vollbremsung bei Gefahrensituation) s = ( x 10 ) 2 2
Dabei ist die Variable x die Geschwindigkeit zu Beginn des Bremsvorgangs in km h und der Bremsweg s die Wegstrecke in Meter.
a) Ein Autofahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h auf eine Ampel zu und beginnt beim Umschalten auf Rot zu bremsen. Ermittle den Bremsweg s gemäß der Faustformel.
b) Auf einer Landstraße ist eine 48 Meter lange Bremsspur zu sehen, die durch einen verschärften Bremsvorgang erzeugt wurde. Bestimme die Geschwindigkeit, mit der das Fahrzeug vor Bremsbeginn unterwegs war.
Lösung zu a)
Der Bremsweg s wird mit Gleichung s = ( x 10 ) 2 berechnet, deshalb wird die Geschwindigkeit des Autos in die Gleichung eingesetzt.
s = ( 50 10 ) 2 = ( 5 ) 2 = 25 m
Der Bremsweg des Fahrzeugs beträgt bei einer Geschwindigkeit von 50 km h gemäß der Faustformel ca. 25 Meter.
Lösung zu b)
Der näherungsweise Bremsweg s bei einer Vollbremsung wird mit Gleichung s = ( x 10 ) 2 2 berechnet.
Deshalb wird die gemessene Bremsspur des Autos in die Gleichung eingesetzt und nach x aufgelöst.
48 = ( x 10 ) 2 2 | · 2
96 = ( x 10 ) 2 = x 2 100 | · 100
9600 = x 2 |
⇒ x = ± 98
Bei dieser Lösung kommt nur die positive Lösung in Betracht.
Das Fahrzeug leitete bei einer Geschwindigkeit von 98 km h die Vollbremsung ein.