Aufgabe 1
Gib den Wert a , die Definitionsmenge D und die Wertemenge W der Funktionen f : f ( x ) = − 1 2 x 2 und g : g ( x ) = 3 2 x 2 an.
Zeichne mithilfe einer Wertetabelle die Graphen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Lösung
f : f ( x ) = − 1 2 x 2 ; Der Wert a ist der Zahlenfaktor im quadratischen Glied ⇒ a = − 1 2
Die Definitionsmenge D f der quadratischen Funktion f enthält die reellen Zahlen ⇒ D f = ℝ
Der Graph der Funktion f ist eine nach unten geöffnete Parabel ⇒ W f = ℝ −
g : g ( x ) = 3 2 x 2 ; Der Wert a ist der Zahlenfaktor im quadratischen Glied ⇒ a = 3 2
Die Definitionsmenge D g der quadratischen Funktion g enthält die reellen Zahlen ⇒ D g = ℝ
Der Graph der Funktion g ist eine nach oben geöffnete Parabel ⇒ W g = ℝ +
Wertetabelle
Wertetabelle x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x )-4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 g (x )13,5 6 1,5 0 1,5 6 13,5
Graph der Funktion f :
BR
Graph der Funktion g :
BR
Aufgabe 2 Damit der Graph einer Funktion f: y = ax ² gezeichnet werden kann, musst du zunächst die Funktionswerte berechnen. Neben dem Scheitelpunkt S(0|0) möchtest du vier weitere Punkte bestimmen. Warum reicht es in diesem Fall, nur zwei Koordinatenwerte zu berechnen?
Lösung
Bei der Berechnung der Koordinatenwerte genügt es, wenn z. B. zwei Punkte rechts vom Scheitelpunkt berechnet werden. Aufgrund der Achsensymmetrie der Parabel zur y-Achse können die Koordinaten gespiegelt werden.
Für die Berechnung von Funktionswerten der Funktion f (x ) = ax ² gilt: f (x ) = f (-x )
Aufgabe 3 Der Graph einer Funktion f: f (x ) = ax ² verläuft durch den Punkt P₃(3|6).
a) Gib einen weiteren Punkt der Funktion f an.a der Funktionsgleichung.
Lösung zu a)
Wegen der Achsensymmetrie zur y -Achse gilt f ( x ) = f ( − x ) ⇒ P − 3 ( − 3 | 6 ) .
Lösung zu b)
Zur Bestimmung von a werden die Punktkoordinaten in die Gleichung f (x ) = ax ² eingesetzt.
P(3|6): 6 = a ∙ 3² = 9a | :9
6 9 = 2 3 = a ⇒ f ( x ) = 2 3 x 2
Lösung zu c)
BR
Neben dem Scheitelpunkt S(0|0) wird noch ein Punkt Q berechnet und der Spiegelpunkt zur y-Achse übernommen.
Wähle z. B. x = 2:
f ( 2 ) = 2 3 · 2 2 = 8 3 ⇒ Q 2 ( 2 | 8 3 )
Spiegelpunkt : Q − 2 ( − 2 | 8 3 )
Aufgabe 4 Ermittle die allgemeine Form f (x ) = ax ² + bx + c des Funktionsterms:
a) f ( x ) = − 1 2 ( 4 x 2 − 2 x + 6 )
b) f (x ) = -(x - 1) ∙ (x + 3)
c) f ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) 2 + 2
Lösung zu a)
Durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms erhält man die allgemeine Form.
f ( x ) = − 1 2 ( 4 x 2 − 2 x + 6 ) = − 1 2 · 4 x 2 − 1 2 ( − 2 x ) − 1 2 · 6 = − 2 x 2 + x − 3
Lösung zu b)
Durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms erhält man die allgemeine Form.
f ( x ) = − ( x − 1 ) · ( x + 3 ) = − ( x 2 + 3 x − x − 3 ) = − ( x 2 + 2 x − 3 ) = − x 2 − 2 x + 3
Lösung zu c)
Durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms erhält man die allgemeine Form.
f ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) 2 + 2 = 1 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) + 2 = 1 2 x 2 + 2 x + 2 + 2 = 1 2 x 2 + 2 x + 4
Aufgabe 5 Bestimme die Scheitelpunktform f (x ) = a (x - x ₛ)² + y ₛ des Funktionsterms:
a) f (x ) = 2x ² - 4x - 2
b) f ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) · ( x - 2 )
c) f (x ) = -2x ² + 4x
Lösung zu a)
f (x ) = 2x ² - 4x - 2
Die Scheitelpunktform wird durch Ermittlung des Scheitels der Parabel ermittelt.
x -Koordinate des Scheitelpunkts: x s = − b 2 a = − ( − 4 ) 2 · 2 = 4 4 = 1
Für die y -Koordinate gilt:
y ₛ = f (x ₛ) = f (1) = 2(1)² - 4(1) - 2 = 2 - 4 - 2 = -4
⟹ f ( x ) = 2( x - 1)² - 4
Lösung zu b)
f ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) · ( x − 2 ) = 1 2 ( x 2 − 2 x + 2 x − 4 ) = 1 2 ( x 2 − 4 ) = 1 2 x 2 − 2
Die Scheitelpunktform wird durch Ermittlung des Scheitels der Parabel ermittelt.
x -Koordinate des Scheitelpunkts: x s = − b 2 a = − 0 2 · 1 2 = 0
Für die y -Koordinate gilt: y s = f ( x s ) = f ( 1 ) = 1 2 ( 0 ) 2 − 2 = − 2
⇒ f ( x ) = 1 2 ( x − 0 ) 2 − 2 = 1 2 x 2 − 2
Lösung zu c)
f (x ) = -2x ² + 4x
Die Scheitelpunktform wird durch Ermittlung des Scheitels der Parabel ermittelt.
x -Koordinate des Scheitelpunkts: x s = − b 2 a = − 4 2 · ( − 2 ) = − 4 − 4 = 1
Für die y-Koordinate gilt:
y ₛ = f (x ₛ) = f (1) = -2(1)² + 4(1) = -2 + 4 = 2
⟹ f ( x ) = -2( x - 1)² + 2
Aufgabe 6 Ermittle die Nullstellenform f (x ) = a (x - x ₁) ∙ (x - x ₂) des Funktionsterms:
a) f (x ) = -2x ² + 4x + 6
b) f ( x ) = 1 2 x 2 − 4 x
c) f ( x ) = 1 2 ( x − 3 ) 2 − 2
Lösung zu a)
f (x ) = -2x ² + 4x + 6
Die Nullstellen des quadratischen Terms werden ermittelt.
-2x ² + 4x + 6 = 0| Lösung mit Mitternachtsformel
x 1,2 = − 4 ± 4 2 − 4 ( − 2 ) · 6 2 ( − 2 ) = − 4 ± 64 − 4 = − 4 ± 8 − 4 ⇒ x 1 = − 4 + 8 − 4 = − 1 ; x 2 = − 4 − 8 − 4 = 3
⟹ f ( x ) = -2( x + 1) ∙ ( x - 3)
Lösung zu b)
f ( x ) = 1 2 x 2 − 4 x | 1 2 x ausklammern
⇒ f ( x ) = 1 2 x ( x − 8 )
Lösung zu c)
f ( x ) = 1 2 ( x − 3 ) 2 − 2 = 1 2 ( x 2 − 6 x + 9 ) − 2 = 1 2 x 2 − 3 x + 4,5 − 2 = 1 2 x 2 − 3 x + 2,5
Die Nullstellen des quadratischen Terms werden ermittelt.
1 2 x 2 − 3 x + 2,5 = 0 | Lösung mit Mitternachtsformel
x 1,2 = − ( − 3 ) ± ( − 3 ) 2 − 4 ( 1 2 ) · 2,5 2 ( 1 2 ) = 3 ± 4 1 = 3 ± 2 1
⇒ x 1 = 3 + 2 1 = 5 1 = 5 ; x 2 = 3 − 2 1 = 1 1 = 1
⇒ f ( x ) = 1 2 ( x − 5 ) · ( x − 1 )