Aufgabe 1 Gib die Funktionsgleichung einer linearen Funktion an und benenne die einzelnen Parameter.
Lösung
Funktionsgleichung: f (x ) = mx + t
f (x ) ist der Funktionswert an der Stelle x, ist die Steigung des Graphen, x ist die unabhängige Variable aus dem Definitionsbereich und t ist der y -Achsenabschnitt bzw. die Schnittpunktkoordinate mit der y -Achse.
Aufgabe 2 Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus?
Lösung
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Aufgabe 3 Beschreibe den Einfluss des Koeffizienten m in der Funktionsgleichung f (x ) = mx + t .
Lösung
Ist m < 0 (negativ), so fällt die Gerade von links oben nach rechts unten.
Ist m = 0, so ist die Gerade eine Parallele zur x -Achse und hat keine Steigung.
Ist m > 0 (positiv), so steigt die Gerade von links unten nach rechts oben.
Aufgabe 4 Wie kann die Steigung m der linearen Funktion f mit f (x ) = mx + t ermittelt werden?
Lösung
Die Steigung m einer linearen Funktion kann aus dem Steigungsdreieck des Graphen oder mit Hilfe von zwei Punkten, durch die der Graph mit der Gleichung m = ∆ y ∆ x = y 2 − y 1 x 2 − x 1 verläuft, ermittelt werden.
Aufgabe 5 Wie kann der y -Achsenabschnitt t der linearen Funktion f mit f (x ) = mx + t bestimmt werden?
Lösung
Den y -Achsenabschnitt t kann man benennen, wenn die Funktionsgleichung gegeben ist oder ermitteln, indem man in die Gleichung f (x ) = mx + t die Steigung m und die Koordinaten eines Punktes des Graphen einsetzt und die Gleichung nach t auflöst.
Aufgabe 6 Bestimme jeweils die Steigung m und den y -Achsenabschnitt t:
a) f (x ) = -2x + 2
b) f (x ) = 3x
c) y = -2
Aufgabe 7 Graph der linearen Funktion f mit f (x ) = mx + t:
BR, www.geogebra.org
Ermittle aus dem Graph der linearen Funktion f mit f (x ) = mx + t m und den y -Achsenabschnitt t und gib die Funktionsgleichung an.
Lösung
Aus dem Steigungsdreieck kann ∆y = 0,5 und ∆x = 1 ermittelt werden:
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Somit gilt:
m = ∆ y ∆ x = 0,5 1 = 0,5 .
Für den Schnittpunkt mit der y -Achse gilt: S y ( 0 | 0,5 ) und somit: t = 0,5 .
Funktionsgleichung: f (x ) = 0,5x + 0,5
Aufgabe 8 Handelt es sich bei der Gleichung f (x ) = y = 0 um eine Funktion und falls ja, wie sieht ihr Graph aus?
Lösung
Die Gleichung f ( x ) = y = 0 ist eine Funktionsgleichung, denn es wird jedem x ∈ ℝ genau ein Funktionswert f ( x ) = y zugewiesen.
Der Graph der Funktion f (x ) = y = 0 ist die x -Achse.
Aufgabe 9 Eine Garageneinfahrt darf nicht beliebig steil sein. Die maximale Steigung einer Garageneinfahrt von Mittel- und Großgaragen beispielsweise darf in der Regel 15 % nicht überschreiten. Was bedeuten die 15 %? Ermittle den Steigungsfaktor m .
Lösung
15 % (15 von 100) bedeutet, dass bei einer waagrechten Entfernung von 100 m ein Höhenunterschied von 15 m besteht und bei einer horizontalen Entfernung von 10 m ein Höhenunterschied von 1,5 m vorliegt. Das Verhältnis von senkrechter Höhe zu waagrechter Strecke ist immer konstant und wird als Steigung bezeichnet.
m = senkrechte Höhe waagrechte Strecke = 15 100 = 1,5 10 = 0,15 = 15 %
Aufgabe 10 Du siehst von der Straße aus auf die Frontseite eines Gebäudes.
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a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden g₁ durch die Punkte A(0|6) und B(6|10).
b) Die Gerade g 2 durch die Punkte B und C hat die Steigung m = − 2 3 . Erstelle die Funktionsgleichung von g 2
c) Erstelle die Gleichung der vertikalen Geraden zum Punkt D(18|4).
Lösung zu a)
A(0|6); B(6|10)
m = 10 − 6 6 − 0 = 4 6 = 2 3 ; ⇒ f ( x ) = 2 3 x + t
A ( 0|6 ) in f ( x ) = 2 3 x + t
6 = 2 3 · 0 + t ⇔ t = 6
Funktionsgleichung: f ( x ) = 2 3 x + 6
Lösung zu b)
f ( x ) = − 2 3 x + t
B(6|10) in f ( x ) einsetzen
10 = − 2 3 · 6 + t ⇔ t = 14
Funktionsgleichung: f ( x ) = − 2 3 x + 14
Lösung zu c)
Die Gleichung der Geraden lautet x = 18.
Aufgabe 11 Zeichne die Graphen folgender Funktionen auf einem Blatt Papier in ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm auf beiden Achsen ein. Überprüfe deine Lösung anschließend mithilfe des interaktiven Applets, indem du dort den Funktionsterm eingibst:
a) f ( x ) = − 2 x + 2
b) f ( x ) = − x + 1
c) f ( x ) = 3 2 x − 1
d) f ( x ) = − 1 2 x + 1,5
e) f ( x ) = 3 x
f) f ( x ) = 0
