Rechnen mit der Quadratwurzel

Diese Folge befasst sich mit der Quadratwurzel und den Wurzelgesetzen. Du lernst, wie Quadratwurzelterme zusammengefasst werden, wie man Wurzelwerte abschätzen kann oder mit dem Taschenrechner ausrechnet. Außerdem erfährst du, wie man Quotienten rational macht, Vorfaktoren unter die Wurzel zieht und komplexe Terme umformt und vereinfacht.

Quadratwurzelterme zusammenfassen

Um Wurzelterme zusammenzufassen, musst du darauf achten, ob sie gleichartige Wurzeln haben, also Wurzeln mit gleichem Radikanden (dem Ausdruck unter der Wurzel) sind.

Beispielaufgaben zu "Zusammenfassen von Quadratwurzeln"

Beispielaufgabe 1: Gleiche Radikanden

Fasse die Wurzelterme zusammen und vereinfache:

$a) 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}$

$b) 3 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b} - 2 \sqrt{a} - \sqrt{b}$

$c) 3 r \sqrt{a} + 2 r \sqrt{b} - 5 r \sqrt{a} + r \sqrt{b}$

Beispielaufgabe 2: Ungleiche Radikanden

Forme die Terme so um, dass sie zusammengefasst werden können:

$a) \sqrt{20} + \sqrt{45}$

$b) 3 \sqrt{48} - 4 \sqrt{27}$

$c) \sqrt{9 a} - \sqrt{4 a} - \sqrt{a} + \sqrt{4 b}$

Wurzelwerte abschätzen

Um Wurzelwerte abzuschätzen, nutzt man die Tatsache, dass die Quadratwurzel zwischen zwei ganzzahligen Quadraten liegt. Das geht für kleine Wurzelwerte ohne Taschenrechner recht gut, wenn man die Quadratzahlen von 1 bis 12 (oder sogar bis 20) auswendig weiß.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Beispielaufgabe zu "Abschätzen von Wurzelwerten"

Ermittle ohne Taschenrechner folgende Wurzelwerte:

$a) \sqrt{10} b) \sqrt{18} c) \sqrt{27} d) \sqrt{45}$

Wurzelwert mit dem Taschenrechner berechnen

Taschenrechner (oder auch die Rechner-App deines Smartphones) sind wichtige Hilfsmittel bei der Berechnung von Zahlenwerten.

Beispielaufgabe zu "Berechnung des Wurzelwerts mit dem Taschenrechner"

Berechne mit dem Taschenrechner folgende Wurzelwerte und runde auf zwei Stellen nach dem Komma:

$a) \sqrt{10} b) \sqrt{27} c) \frac{\sqrt{45}}{2} d) \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}$

Rationalmachen des Nenners

Den Nenner rational zu machen bedeutet, die Wurzel im Nenner eines Bruchs zu entfernen, ihn also zu „rationalisieren“. Das Ziel dabei ist, dass im Nenner keine Wurzel mehr vorhanden ist.

Beispielaufgabe zu "Rationalmachen des Nenners"

$a) \frac{2}{\sqrt{2}} b) \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} c) \frac{5}{2 + \sqrt{3}} d) \frac{6}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

Vorfaktor unter die Wurzel zu ziehen

Soll ein Vorfaktor vor der Wurzel unter die Wurzel geschrieben werden, so kommt er als quadratischer Faktor unter die Wurzel.

Beispielaufgaben

Beispielaufgabe 1

Ziehe den Vorfaktor unter die Wurzel und vereinfache:

$a) 2 \sqrt{3} b) a \sqrt{6} c) 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} d) 3 \sqrt{2} - \sqrt{18}$

Beispielaufgabe 2

$Vereinfache den Term 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} (2 - \sqrt{6}) - \frac{2}{\sqrt{2}} so weit wie möglich.$