Quadratwurzel und Wurzelgesetze

Diese Folge erklärt dir, was eine Quadratwurzel ist und wie du sie berechnest. Außerdem zeigen wir dir die Wurzelgesetze und wie du sie anwendest.

Quadratwurzel

Das Wurzelziehen bzw. Radizieren (lat. Radix = Wurzel) ist die Umkehrung des Potenzierens. Beim Wurzelziehen wird derjenige Wurzelwert gesucht, der mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt.

Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden und dem Wurzelexponenten. Bei der Quadratwurzel ist der Wurzelexponent 2, der weggelassen werden kann. Die Gleichung 5² = 25 drückt aus: Die Quadratwurzel (oder zweite Wurzel) aus 25 ist 5. Es gilt folgende Schreibweise:

$\sqrt[2]{25} = 5 oder \sqrt{25} = 5$

2: Wurzelexponent
25: Radikand
5: Wurzelwert

Tabelle zum Potenzieren und Radizieren | Algebra | kolleg24 Mathematik — BR; www.geogebra.org

Beispielaufgabe: Quadratzahlen

$Gib an, welche dieser Zahlen Quadratzahlen von b \in ℕ sind und zeige warum .$

16 18 25 30 36 50 64 81 91

Beispielaufgabe: Wurzel

Berechne die Wurzel ohne Taschenrechner:

$a) \sqrt{0} b) \sqrt{1} c) \sqrt{9} d) \sqrt{49}$

Beispielaufgabe: Radikand

$Erkläre, warum \sqrt{49} = 7 korrekt ist .$

Beispielaufgabe: Wurzelwert

$Ermittle den Wert der Wurzel \sqrt{55^{2} + 55 + 56} .$

Beispielaufgabe: Längenberechnung

Für die Fläche eines Quadrats gilt A = a² = 64 cm².
Berechne die Länge der Seite a.

Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze helfen beim Rechnen mit Quadratwurzeln. Sie gelten für positive reelle Zahlen und sind wichtig, um Terme zu vereinfachen oder umzustellen.

Addition und Subtraktion von Quadratwurzeln

Wurzeln können addiert und subtrahiert werden, wenn sie denselben Exponenten und Radikanden haben.

$u \cdot \sqrt{a} \pm v \sqrt{a} = (u + v) \cdot \sqrt{a}$

Multiplikation von Quadratwurzeln

Ist der Radikand ein Produkt, kann die Wurzel aus dem Produkt oder aus den Faktoren gezogen werden.

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Division von Quadratwurzeln

Ist der Radikand ein Quotient, kann die Wurzel aus dem Quotienten oder aus dem Zähler und dem Nenner gezogen werden.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Beispielaufgabe: Wurzeladdition

Vereinfache die Terme so weit wie möglich:

$a) 3 \sqrt{4} + 2 - \sqrt{a} + 3 \sqrt{a}$

$b) 5 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b} - 3 \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$c) \sqrt{22^{2} + 22 + 23}$

Beispielaufgabe: Multiplikation von Quadratwurzeln

Vereinfache und gib die Lösung an:

$a) \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} b) \sqrt{36 \cdot 16} c) \sqrt{9 \cdot 16} \cdot \sqrt{9 + 16} d) \sqrt{a} + \sqrt{3} = \sqrt{48}$

Beispielaufgabe: Division von Quadratwurzeln

Vereinfache und gib die Lösung an:

$a) \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}} b) \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}} c) \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} d) \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} e) \frac{2 \sqrt{18}}{\sqrt{2}} f) \sqrt{\frac{81}{4}} g) \sqrt{\frac{144}{9}}$

Beispielaufgabe: Differenz unter der Wurzel

$Ermittle die Lösung des Wurzelterms \sqrt{{(\frac{65}{100})}^{2} - {(\frac{16}{100})}^{2}}$