Diese Folge befasst sich mit Termen. Du wirst lernen, was ein Term ist und wie der Wert eines Terms ermittelt wird.
Terme
In der Mathematik werden Sachverhalte oft kurz und präzise durch Terme dargestellt. Dabei dienen Variablen als Platzhalter für Größen, die sich verändern können. Eine Variable steht für eine beliebige Zahl. Wenn eine Variable in einem Term mehrfach vorkommt, wird sie beim Einsetzen einer Zahl stets durch dieselbe Zahl ersetzt.
Beispiele für Terme sind z. B.: 3 + 4; 7 - 3; 2x; 4a + 3b - 2; (x + 2)(x - 2); ...
Terme mit Variablen und Termwert
- Terme mit Variablen enthalten neben Zahlen und Rechenzeichen auch Variablen, z. B. T(a) = 2a + 12. Der Term 2a ist gleichbedeutend mit 2 ∙ a. Zwischen der Ziffer 2 und der Variablen a darf der Malpunkt weggelassen werden. Nicht zu verwechseln mit der Zahl 12, hier befindet sich zwischen den Ziffern 1 und 2 kein Malpunkt.
- Wird beim Term T(a) = 2a + 12 die Variable a durch eine Zahl ersetzt, so kann der Termwert berechnet werden. Setzt man z. B. für a die Zahl 11 ein, so lautet der Termwert T(11) = 2 ∙ 11 + 12 = 22 + 12 = 34.
Beispielaufgaben zu "Termen mit Variablen und Termwert"
Beispielaufgabe 1: Malpunkte bei Termen
Entscheide, welche Malpunkte bei den Termen a) bis d) weggelassen werden dürfen:
a) T(a) = 3 ∙ a
b) T(b) = 3 ∙ 4 + 12 ∙ b
c) T(c) = (3 ∙ 4) ∙ (2 ∙ c)
d) T(d) = 3 ∙ d - 2 ∙ d
Beispielaufgabe 2: Term mit Variable und Termwert
Ein Term lautet T(x) = 3x + 2
a) Beschreibe den Termin Worten und gib die Termart an.
b) Berechne den Termwert für x = 5 und x = -2.
Terme im Sachzusammenhang
Terme im Sachzusammenhang bedeutet, dass mathematische Terme (also Rechenausdrücke aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen) verwendet werden, um reale Situationen oder Alltagsprobleme darzustellen und zu lösen.
- Reale Gegebenheiten werden mathematisch ausgedrückt, um einen Term zu erstellen.
- Variablen werden als Platzhalter für veränderliche Größen eingesetzt.
- Ergebnisse können ermittelt werden, indem man in dem Term die Variablen durch Zahlenwerte ersetzt.
Beispielaufgaben zu "Termen im Sachzusammenhang"
Beispielaufgabe 1: Handygebühren
Dein Handy-Tarif kostet 10 Euro Grundgebühr plus 2 Euro je GB Datenvolumen über dem Freivolumen. Du nutzt in einem Monat x GB über dem Limit.
a) Stelle einen Term für die Monatskosten auf.
b) Berechne, was du zahlst, wenn du 4 GB mehr verbrauchst.
Beispielaufgabe 2: Umfang eines Rechtecks
Erläutere, wie man den Term für den Umfang U eines Rechtecks mit den Seitenlängen l und b aufstellen kann und berechne dann den Umfang U eines Fußballspielfeldes für l = 105 Meter und b = 68 Meter.
Beispielaufgabe 3: Taxifahrt
Eine Taxifahrt kostet 4 Euro Grundpreis und 1,50 Euro pro Kilometer. Du fährst x Kilometer.
a) Stelle einen Term für die Fahrtkosten auf.
b) Berechne die Kosten für 16 km.
Zusammenfassen von Termen
Unter dem Zusammenfassen von Termen versteht man in der Mathematik das Vereinfachen eines Terms, indem gleichartige Terme (also gleichartige Summanden) zusammengefasst werden.
- Nur gleichartige Terme dürfen zusammengefasst werden.
- Gleichartige Terme sind Terme, die denselben Variablenteil haben. Nur ihre Koeffizienten (Vorfaktoren) können unterschiedlich sein.
- Eine Summe oder Differenz aus gleichartigen Termgliedern kann zusammengefasst werden, indem man die Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert und die gemeinsamen Variablen beibehält.
Beispielaufgabe zu "Terme zusammenfassen"
Fasse gleichartige Terme zusammen und vereinfache:
a) T(x) = 3x + 2 + 5x - 4
b) T(x) = 2x² + 3x²
c) T(a) = 4a² + 3a - 2a² + 5 - a + 1
d) T(x;y) = x³y + 4x⁵ - 3x³x² - yx³