In dieser Folge lernst du die wichtigsten Rechengesetze der Algebra kennen. Wir zeigen dir, bei welchen Rechenoperationen du das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz einsetzen kannst.
Der Begriff "Rechengesetze"
In der Algebra versteht man unter Rechengesetzen bestimmte Regeln, die beschreiben, wie man mit Zahlen und Variablen korrekt rechnet. Diese Gesetze gelten unabhängig von den konkreten Zahlenwerten und sind grundlegend für das Verständnis und die Anwendung mathematischer Operationen.
Rechengesetze der Algebra:
- Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
- Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)
- Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
- Neutrale Elemente
- Inverses Element
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Kommutativgesetz bei der Addition:
In einer Summe können die Summanden vertauscht werden, ohne dass sich die Summe ändert:
a + b = b + a
Kommutativgesetz bei der Multiplikation:
In einem Produkt können die Faktoren vertauscht werden, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert:
a ∙ b = b ∙ a
Das Kommutativgesetz gilt nicht für Subtraktion oder Division.
Beispielaufgaben zu "Kommutativgesetz"
Beispielaufgabe 1
Berechne und erkläre mit dem Kommutativgesetz:
a) 17 + 40 = 40 + 17
b) 17 ∙ 40 = 40 ∙ 17
Beispielaufgabe 2
Beurteile in Bezug auf das Kommutativgesetz folgende Gleichungen:
a) a + b = b + a
b) 6 - 3 = 3 - 6
c) x ∙ 6 = 6 ∙ x
Beispielaufgabe 3: Vorteil des Kommutativgesetzes beim Kopfrechnen
Addiere die Zahlen 18 + 37 + 22 + 13 ohne Taschenrechner durch sinnvolles Tauschen.
Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)
Assoziativgesetz bei der Addition:
In einer Summe können die Klammern vertauscht werden, ohne dass sich die Summe ändert:
(a + b) + c = a + (b + c)
Assoziativgesetz bei der Multiplikation:
In einem Produkt können die Klammern vertauscht werden, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert:
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
Das Assoziativgesetz gilt nicht für Subtraktion oder Division.
Beispielaufgaben zu "Assoziativgesetz"
Beispielaufgabe 1: Klammern vertauschen
Vergleiche die Aufgaben a) mit b) und c) mit d). Was passiert, wenn die Klammern vertauscht werden?
a) (2 + 3) + 4 =
b) 2 + (3 + 4) =
c) (2 ∙ 3) ∙ 4 =
d) 2 ∙ (3 ∙ 4) =
Beispielaufgabe 2: Assoziativgesetz
Vergleiche die Aufgaben a) und b). Warum verursacht das Vertauschen der Klammern unterschiedliche Ergebnisse?
a) (10 - 3) - 1 = 7 - 1 = 6
b) 10 - (3 - 1) = 10 - 2 = 8
Beispielaufgabe 3: Addition, Multiplikation, Division
Gib an, ob das Assoziativgesetz bei den folgenden Termen gilt:
a) (10 + 2) + 4
b) 3 ∙ (x ∙ 2)
c) 32 : (4 : 2)
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Wenn man eine Zahl (oder Variable) mit einer Summe oder Differenz in einer Klammer multipliziert, kann man jeden Summanden oder Subtrahenden einzeln multiplizieren und die Ergebnisse dann addieren oder subtrahieren.
Wenn man eine Zahl (oder Variable) mit einer Summe oder Differenz in einer Klammer dividiert, kann man jeden Summanden oder Subtrahenden einzeln dividieren und die Ergebnisse dann addieren oder subtrahieren.
Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) beschreibt, wie man eine Zahl oder einen Term über eine Klammer "verteilen" kann. Es gilt sowohl für die Addition als auch für die Subtraktion innerhalb einer Klammer.
Beispielaufgaben zu "Distributivgesetz"
Beispielaufgabe 1: Rechenaufgabe mit Zahlen
Berechne den Term (6 + 3) ∙ 4
a) mit dem Distributivgesetz
b) durch Ausmultiplizieren der Faktoren
Beispielaufgabe 2: Rechenaufgabe mit einer Variable
Berechne den Term 4 ∙ (x + 5) mit dem Distributivgesetz.
Beispielaufgabe 3: Summenterm
Berechne den Summenterm 4a + 2 (a + 5) und fasse zusammen.
Beispielaufgabe 4: Anwendung des Distributivgesetzes
Berechne jeweils die Terme mithilfe des Distributivgesetzes:
a) 52 ∙ 8a
b) 70a ∙ 15
c) 48 ∙ 12x
d) 102 : 6 + 18 : 6
Neutrale Elemente
In der Algebra bezeichnet man als neutrales Element ein Element, das bei einer bestimmten Rechenoperation keine Auswirkung auf andere Elemente hat – also das Rechenergebnis nicht verändert.
Je nach Rechenart unterscheidet man zwei neutrale Elemente:
Neutrales Element der Addition
Das neutrale Element der Addition ist die Zahl 0
Für jedes a gilt: a + 0 = a
Die Null verändert das Ergebnis der Addition nicht.
Neutrales Element der Multiplikation
Das neutrale Element der Multiplikation ist die Zahl 1
Für jedes a gilt: a ∙ 1 = a
Die Eins verändert das Ergebnis der Multiplikation nicht.
Beispielaufgaben zu "Neutrale Elemente"
Beispielaufgabe 1: Neutrales Element der Multiplikation
Gib das neutrale Element der Multiplikation an und zeige es an einem Beispiel.
Beispielaufgabe 2: Kein neutrales Element der Division
Zeige an einem Beispiel, dass es kein neutrales Element der Division gibt.
Inverses Element
In der Algebra bezeichnet man als ein inverses Element (auch: Umkehrelement) ein Element, das zu einem anderen passt, sodass bei einer Rechenoperation das neutrale Element herauskommt.
Inverses Element der Addition
Das neutrale Element der Addition ist die Zahl 0, deshalb gilt bei der Addition:
a + b = 0 | -b
a = -b | ∙ (-1)
-a = b ⟹ a + (-a) = a - a = 0
Das inverse Element der Addition zu a ist -a, denn bei der Addition einer Zahl mit der Gegenzahl kommt als Ergebnis das neutrale Element der Addition heraus.
Inverses Element der Multiplikation
Das neutrale Element der Multiplikation ist die Zahl 1, deshalb gilt bei der Multiplikation:
a ∙ b = 1 | :b mit b ≠ 0
Beispielaufgaben zu "Inverse Elemente"
Beispielaufgabe 1: Inverses Element bei der Multiplikation
Gib das neutrale Element und das inverse Element der Multiplikation an und zeige es an einem Zahlenbeispiel mit der Zahl 5.
Beispielaufgabe 2: Multiplikatives zu 0
Erkläre, warum es kein Multiplikatives zu 0 gibt.
Beispielaufgabe 3: Inverses Element
Gib jeweils das inverse Element von z bei Addition und Multiplikation an.