Diese Folge beschäftigt sich mit wichtigen Kenngrößen und dem Thema Stichproben. Du lernst, was die Spannweite, der arithmetische Mittelwert, der Modalwert und der Median bei einer Datenmenge bedeuten. Außerdem erfährst du, was eine Stichprobe ist und welche Aussagekraft sie besitzt.
In der Statistik sind Kenngrößen (auch Maßzahlen oder Statistische Kennzahlen) Zahlenwerte, die bestimmte Eigenschaften oder Merkmale einer Datenmenge beschreiben. Sie helfen, große Datenmengen zusammenzufassen und zu analysieren.
Spannweite von Daten
Die Spannweite w (auch Range genannt) ist ein einfaches Streuungsmaß in der Statistik. Sie beschreibt, wie weit die Datenwerte auseinanderliegen. Damit die Spannweite ermittelt werden kann, müssen die Daten geordnet werden. Geordnete Werte (auch sortierte Werte genannt) sind die Daten einer Zahlenreihe, die der Größe nach aufsteigend oder absteigend sortiert wurden.
Die Spannweite w ist die Differenz zwischen dem größten Wert xₘₐₓ und dem kleinsten Wert xₘᵢₙ einer geordneten Datenreihe:
Beispiel:
Daten: [3; 7; 2; 9; 5]
Arithmetischer Mittelwert
Beispiel:
Daten: [1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 5]; n = 9
Modalwert
Beispiel:
Daten: [1; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 5]
Ziffer 1: 1-mal
Ziffer 2: 2-mal
Ziffer 4: 2-mal
Ziffer 5: 1-mal
Median
Bei einer geraden Datenanzahl ist der Median das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Datenwerten. Bei einer ungeraden Datenanzahl ist der Median der in der Mitte stehende Wert der geordneten Daten.
Beispiel:
Geordnete Datenzahl gerade: [1; 2; 3; 4; 5; 6] ⟹ die mittleren Datenwerte sind 3 und 4
Geordnete Datenzahl ungerade: [1; 2; 3; 4; 5; 6;7] ⟹ der mittlere Datenwert ist 4
Beispielaufgaben zu Kenngrößen
Beispielaufgabe: Spannweite von Daten
Ordne folgende Datensätze und gib die Spannweite an.
a) [4; 2; 6; 8; 3]
b) [22; 23; 55; 17; 19]
c) [12; 13; 25; 17; 22]
Beispielaufgaben: Arithmetischer Mittelwert
Beispielaufgabe 1:
Ermittle den Durchschnittswert der Datenmenge [4; 2; 6; 8; 3].
Beispielaufgabe 2:
In einer Versuchsküche wird jedes Eier einzeln gewogen:
61,2 g; 63,0 g; 62,1 g; 64,6 g; 62,8 g; 63,4 g.
Ermittle den Durchschnittswert der Messung.
Beispielaufgabe 3:
Im Mathematikunterricht werden die Noten der Klassenarbeit bekanntgegeben:
| Noten | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Anzahl | 2 | 4 | 8 | 7 | 3 | 0 |
Ermittle den Durchschnitt der Noten.
Beispielaufgabe: Modalwert
Ermittle den Modalwert folgender Datensätze:
a) [4; 2; 6; 8; 3; 6; 14; 12]
b) [14; 12; 16; 8; 12; 14; 19]
Wenn mehrere Merkmalsausprägungen die gleiche maximale Häufigkeit aufweisen, spricht man von einer multimodalen Verteilung.
Beispielaufgaben: Median
Beispielaufgabe 1:
Eine Schülerin hat in Mathematik folgende Noten erhalten: [3; 3; 4; 5; 1; 3; 5]
Erläutere, wie man den Median bestimmt und erkläre das Ergebnis.
Beispielaufgabe 2:
Ein Immobilienmakler verkauft Häuser zu folgenden Preisen (in 1 000 Euro): [210; 200; 240; 225; 220; 1 000].
Erläutere, wie man den Median bestimmt und interpretiere das Ergebnis.
Stichprobe
Eine Stichprobe ist eine Teilmenge aus einer größeren Gruppe (der sogenannten Grundgesamtheit). Sie wird untersucht, um daraus Rückschlüsse auf die gesamte Gruppe zu ziehen.
Möglichkeiten, eine Stichprobe zu erstellen:
• Zufällig (z. B. Losverfahren, Zufallszahl)
• Systematisch (z. B. jede 5. Person)
• Geschichtet (z. B. gleiche Anteile nach Alter, Geschlecht)
Ziele der Stichprobe
• Nicht alle Elemente der Grundgesamtheit untersuchen (zu aufwendig, teuer oder unmöglich).
• Stattdessen: eine repräsentative Auswahl → mit möglichst ähnlichen Eigenschaften wie die Gesamtheit.
• Daraus dann verallgemeinerbare Aussagen treffen.
Beispielaufgaben zu Stichproben aus dem Alltag
Beispielaufgabe 1: Wahl einer Stichprobe
Nachdem 5 000 Artikel eines neuen Produkts verkauft wurden, möchte ein Unternehmen wissen, wie zufrieden die Kunden sind. Bestimme, welche Stichprobe am besten geeignet ist, um eine repräsentative Kundenmeinung zu erhalten.
Beispielaufgabe 2: Zufriedenheitsabfrage
Die Schulleiterin möchte herausfinden, wie zufrieden die insgesamt 600 Lernenden mit dem neuen Mensa-Essen sind.
Beispielaufgabe 3: Entscheidung, ob eine Tagesproduktion in den Verkauf geht
Ein Unternehmen produziert täglich 10.000 LED-Leuchten. Es soll überprüft werden, ob die Fehlerquote innerhalb des erlaubten Rahmens von 5 % liegt. Da es zu aufwendig und kostspielig wäre, alle 10.000 LED-Leuchten zu testen, wird eine zufällige Stichprobe von 200 LED-Leuchten aus der Tagesproduktion entnommen. Jede dieser LED-Leuchten wird geprüft, beispielsweise darauf, ob sie leuchten, wie lange sie halten und ob sichtbare Defekte vorliegen). Dabei zeigt sich, dass vier LED-Leuchten defekt sind. Was bedeutet dieses Ergebnis?