Potenzgesetze

Wie rechnet man mit Potenzen? In dieser Folge lernst du, was ein negativer Exponent bei einer Potenz ist, wie man gleiche Basen und Brüche im Exponenten von Potenzen behandelt und wie man Potenzen potenziert.

Der Begriff Potenzgesetze bezeichnet eine Sammlung von Rechenregeln, die beim Rechnen mit Potenzen (also Ausdrücken wie aⁿ) gelten.

Potenz aⁿ = c

Eine Potenz ist die Kurzschreibweise für das Produkt gleicher Faktoren.

$Sie besteht aus der Basis (Grundzahl) a \in ℝ \ {0} und dem Exponenten (Hochzahl) n \in ℕ .$

Der Exponent n gibt an, wie oft die Basis a mit sich selbst multipliziert werden muss. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist der Potenzwert c.

$a^{n} = \underset{n Faktoren}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}}; z.B. 2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Ist bei einer Zahl oder einer Variable kein Exponent angegeben, dann ist der Exponent n immer 1
⇒ a¹ = a.

Ist bei einer Zahl oder einer Variable der Exponent 0, so gilt definitionsgemäß: a⁰ = 1, wobei 0⁰ nicht definiert ist.

Beispielaufgabe: Potenz und Potenzwert

Gib für die Potenz 2³ die Basis, den Exponenten und den Potenzwert an.

Beispielaufgabe: Potenzschreibweise

Gib folgende Terme in Potenzschreibweise an.

a) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
b) x ∙ x ∙ x

Beispielaufgabe: Potenzwert

Berechne den Potenzwert folgender Potenzen.

a) 3²
b) 5³
c) 10⁰
d) 6¹

Negativer Exponent

Terme mit Exponenten können in Bruchterme mit umgekehrten Vorzeichen umgewandelt werden. Ein Term mit negativem Exponenten kann in einen Bruchterm mit positiven Exponenten umgewandelt werden:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Genauso kann ein Term mit positiven Exponenten in einen Bruchterm mit negativen Exponenten umgewandelt werden:

$a^{n} = \frac{1}{a^{- n}}$

Beispielaufgabe: Exponentialschreibweise mit negativen Exponenten

Schreibe folgende Potenzterme mit positiven Exponenten und gib den Potenzwert an.

a) 3⁻²
b) 2⁻³
c) 10⁻¹
d) 10⁻³

Beispielaufgabe: Exponentialschreibweise mit positiven Exponenten

Schreibe folgende Potenzterme mit negativen Exponenten und gib den Potenzwert an.

a) 3²
b) 2³
c) 10¹
d) 10³

Beispielaufgabe: Terme berechnen – Vorzeichen berücksichtigen

Berechne folgende Terme:

a) (- 4)²
b) (- 4)⁻²
c) - 4²
d) - 4⁻²
e) (-4)⁰

Addition und Subtraktion von Potenzen

Potenzen dürfen nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn sie die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben. Oder anders gesagt:

Potenzen mit gleicher Basis und gleichen Exponenten dürfen addiert bzw. subtrahiert werden.

r ∙ aⁿ ± s ∙ aⁿ = (r ± s) ∙ aⁿ

Beispielaufgabe: Addition von Potenztermen

Berechne den Summenterm:

a) 2x² + 3x²
b) 2² + 2³
c) 3a + 5a

Beispielaufgabe: Subtraktion von Potenztermen

Berechne den Term der Differenz:

a) 2x² - 3x²
b) 2² - 2³
c) 3a - 5a

Potenzen mit gleicher Basis aⁿ ∙ aᵐ

Potenzen mit gleicher Basis sind Potenzausdrücke, bei denen die Basis (Zahl oder Variable) gleich ist – auch wenn die Exponenten unterschiedlich sein können.

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Produkte ausmultipliziert oder indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Quotienten in ein Produkt umformt und dann die Regeln für die Multiplikation von Potenzen anwendet oder indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$

Potenzieren von Potenzen

Potenzen werden potenziert, indem man das Produkt der Potenzen bildet und die Regeln für die Multiplikation von Potenzen anwendet oder indem man die Exponenten miteinander multipliziert.

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}$

Beispielaufgaben zu "Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis"

Beispielaufgabe 1

Berechne das Produkt 2² ∙ 2³ und gib den Potenzwert an:

a) durch Ausmultiplizieren
b) durch Anwendung der Potenzgesetze

Beispielaufgabe 2

Berechne das Produkt x³ ∙ x² und gib den Potenzwert an:

a) durch Ausmultiplizieren
b) durch Anwendung der Potenzgesetze

Beispielaufgabe 3

Berechne das Produkt a³ ∙ a⁰ und gib den Potenzwert an:

a) durch Ausmultiplizieren
b) durch Anwendung der Potenzgesetze

Beispielaufgaben zu "Division von Potenzen mit gleicher Basis"

Beispielaufgabe 1

$Berechne den Quotienten \frac{2^{3}}{2^{2}} und gib den Potenzwert an:$

a) durch Ausmultiplizieren
b) durch Anwendung der Potenzgesetze

Beispielaufgabe 2

$Berechne den Quotienten \frac{x^{3}}{x^{2}} und gib den Potenzwert an:$

a) durch Ausmultiplizieren
b) durch Anwendung der Potenzgesetze

Beispielaufgabe 3

Zeige, dass für a ≠ 0 gilt: a⁰ = 1.

Beispielaufgabe: Potenzieren von Potenzen

Zeige, dass gilt:

${(2^{3})}^{2} = 2^{3 \cdot 2} = {(2^{2})}^{3} = 2^{2 \cdot 3} = 2^{6}$

und schließe daraus auf das allgemeine Gesetz „Potenzieren von Potenzen“.

Produkte und Quotienten mit gleichem Exponenten

Hat ein Produkt oder Quotient den gleichen Exponenten, bedeutet das, dass mehrere Zahlen oder Variablen gemeinsam potenziert werden. Das führt zu einem anderen Potenzgesetz, das sich von dem bei gleicher Basis unterscheidet. Vorteile ergeben sich beim Ausklammern oder Vereinfachen von Potenzausdrücken.

Produkt mit gleichem Exponenten

Bei einem Produkt mit gleichem Exponenten verteilt sich die Potenz auf jeden Faktor.
(a ∙ b)ⁿ = aⁿ ∙ bⁿ

Quotient mit gleichem Exponenten

Bei einem Quotient mit gleichem Exponenten verteilt sich die Potenz auf Zähler und auf Nenner.

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Multiplikation mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$

Division mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$

Beispielaufgabe: Ergebnisvergleich

Zeige, dass (2 ∙ 3)³ das Gleiche ist wie 2³ ∙ 3³.

Beispielaufgabe: Exponenten verteilen

Verteile die Exponenten auf die folgenden Faktoren:

a) (2 ∙ 5)³
b) (a ∙ b)²
c) (3x)²
d) (4ab)²

Beispielaufgabe: Bruchterme

Schreibe folgende Terme als Bruch mit Potenzen im Zähler und Nenner.

${a) (\frac{x}{y})}^{4} {b) (\frac{a \cdot b}{c})}^{3} {c) (\frac{2 x}{5 y})}^{2}$

Beispielaufgabe: Vereinfachen von Termen

Vereinfache so weit wie möglich:

$a) {(\frac{4 x}{2 y})}^{2} {b) (\frac{8}{4})}^{3} {c) (\frac{a^{2}}{b^{3}})}^{2}$

Quotient im Exponenten

Ist bei einem Potenzterm der Exponent ein Quotient, so bedeutet das, dass der Potenzterm in einem Wurzelterm umgewandelt werden kann und umgekehrt.

Allgemeine Form

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$

$Der Zähler des Bruchs \frac{m}{n} steht für die Potenz (hoch m)$

$Der Nenner des Bruchs \frac{m}{n} steht für die Wurzel (n -te Wurzel)$

$Sprechweise für \sqrt[n]{a^{m}} : „ n -te Wurzel aus a hoch m “$

Spezielle Form

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

$Der Zähler des Bruchs \frac{1}{n} steht für die Potenz (hoch 1)$

$Der Nenner des Bruchs \frac{1}{n} steht für die Wurzel (n -te Wurzel)$

$Sprechweise für \sqrt[n]{a} : „ n -te Wurzel aus a “$

Beispielaufgabe: Wandle Potenzterme in Wurzelterme um

Ermittle die Lösung folgender Aufgaben:

$a) 8^{\frac{2}{3}} b) 16^{\frac{3}{4}} c) 27^{\frac{1}{3}} d) 7^{\frac{3}{3}} e) 25^{- \frac{1}{2}}$

Beispielaufgabe: Wandle Wurzelterme in Potenzterme um

Gib folgende Wurzelterme in Potenzschreibweise an:

$a) \sqrt[3]{8} b) \sqrt[4]{5^{4}} c) \sqrt[3]{64^{2}} d) \frac{1}{\sqrt{36}} e) {(\sqrt[5]{32})}^{3}$