In dieser Folge erfährst du, was ein Binom ist, welche Arten von Binomen existieren und wie du sie nutzen kannst.
Die binomischen Formeln sind Rechenregeln, mit denen man bestimmte Klammerausdrücke schnell und einfach ausmultiplizieren oder faktorisieren (in Klammern zurückführen) kann. Sie werden in der Algebra oft verwendet, z. B. beim Umformen von Termen oder beim Lösen von Gleichungen.
Binom
Ein Binom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Gliedern (Termen) besteht, die durch ein Plus- oder Minuszeichen verbunden sind. Sobald es drei oder mehr Terme sind, spricht man von einem Polynom.
„Binom“ kommt aus dem Lateinischen: „bi“ = zwei; „nomen“ = Name; also „zwei Namen“ bzw. zwei Teile.
Beispielaufgabe zu "Binom"
Entscheide, ob es sich bei dem Ausdruck um ein Binom handelt und begründe es.
a) x + 4 b) a - b c) 3y - 2x + 3a d) 5x e) m² + 4
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
Die erste binomische Formel ist die Plus-Formel und lautet: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Beispielaufgabe
(a + b)² ≠ a² + b²
Zeige, dass (5 + 3)² ≠ 5² + 3² ist.
Beispielaufgabe
Forme jeweils in einen Summenterm um:
a) (x + y)²
b) (2x + 3y)²
c) 4 ∙ (a + 2)²
d) a ∙ (2x + 3y)²
Beispielaufgabe
Schreibe folgende Terme als Produkt:
a) u² + 2uv + v²
b) x² + 4x + 4
c) - a² - 8a - 16
d) 4x² + 12xy + 9y²
2. Binomische Formel (Minus-Formel)
Die zweite binomische Formel ist die Minus-Formel und lautet: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Beispielaufgabe
(a - b)² ≠ a² - b²
Zeige, dass (5 - 3)² ≠ 5² - 3² ist.
Beispielaufgabe
Forme jeweils in einen Summen-/Differenzterm um:
a) (x - y)²
b) (2x - 3y)²
c) 4 ∙ (a - 2)²
d) a ∙ (2x - 3y)²
Beispielaufgabe
Schreibe folgende Terme als Produkt:
a) u² - 2uv + v²
b) x² - 4x + 4
c) -a² + 8a - 16
d) 4x² - 12xy + 9y²
3. Binomische Formel (Minus-Formel)
Die dritte binomische Formel ist die Plus-Minus-Formel und lautet: (a + b) ∙ (a - b) = a² - b²
Beispielaufgabe
Geometrische Herleitung: In ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 5 Längeneinheiten wird ein Quadrat mit der Seitenlänge b = 2 Längeneinheiten einbeschrieben. Mache eine Zeichnung auf Papier und schneide das kleine Quadrat aus. Zerlege dann die Restflächen so, dass ein Rechteck entsteht. Zeige, dass die Rechteckfläche der Differenzfläche von großem und kleinem Quadrat entspricht.