kolleg24 Mathematik | Folge 15

Quadratische Ergänzung

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Von Autor/in Josef Dillinger, Dr. Jochen Trenner

In dieser Folge lernst du, wie du durch quadratische Ergänzung von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung gelangst. Außerdem erfährst du, wie sich die Scheitelpunktform auch ohne quadratische Ergänzung erstellen lässt.

Durch quadratische Ergänzung kommt man von der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung:
f(x) = ax² + bx + c
zur Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ

Aus der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt (xₛ | yₛ) der Parabel direkt abgelesen werden.

Scheitelpunktform der Normalparabel durch quadratische Ergänzung

Die Umwandlung der Normalenform in die Scheitelpunktform geschieht in 4 Schritten.

Normalenform: f(x) = x² + bx + c

Schritt 1: Die Hälfte von b nehmen und quadrieren

Halbiere  b :   b 2

Quadriere:  ( b 2 ) 2

Schritt 2: Ergänze diesen Term in der Gleichung und ziehe ihn gleich wieder ab

f ( x ) = x 2 + b x + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c

Schritt 3: Die ersten drei Terme als binomisches Quadrat schreiben

f ( x ) = x 2 + b x + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c = ( x + b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c

Schritt 4: In einer Klammer zusammenfassen

f ( x ) = ( x + b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + c = ( x + b 2 ) 2 + ( c − b 2 4 )

Scheitelpunktform:  f ( x ) = ( x + b 2 ) 2 + ( c − b 2 4 )

Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

x -Koordinate des Scheitels :   x s = − b 2     y -Koordinate des Scheitels :   y s = c − b 2 4 }  Scheitelpunkt S ( − b 2 | c − b 2 4 )

Beispielaufgabe: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Stelle die Funktionsgleichung f(x) = x² + 6x + 2 in der Scheitelpunktform dar.

Von der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung zur Scheitelpunktform

Die Umwandlung der quadratischen Gleichung:
f(x) = ax² + bx + c
in die Scheitelpunktform
f(x) = a(x - xₛ)² + yₛ
geschieht in 5 Schritten.

Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c

Schritt 1: Koeffizient a vor den Termen mit x ausklammern

f ( x ) = a ( x 2 + b a x ) + c

Schritt 2: Die Hälfte von  b a    nehmen und quadrieren

Halbiere  b a :   b 2 a   ; Quadriere:  ( b 2 a ) 2 =   b 2 4 a 2

Schritt 3: Ergänze diesen Term in der Gleichung und ziehe ihn gleich wieder ab

f ( x ) = a ( x 2 + b a x + b 2 4 a 2 − b 2 4 a 2 ) + c

Schritt 4: Die ersten drei Terme als binomisches Quadrat schreiben

f ( x ) = a ( ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 ) + c

Schritt 5: Klammer auflösen und zusammenfassen

f ( x ) = a ( x + b 2 a ) 2 − a · b 2 4 a 2 + c

= a ( x + b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a )

Scheitelpunktform:

f ( x ) = a ( x + b 2 a ) 2 + ( c − b 2 4 a )

Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

x − Koordinate des Scheitels :   x s = − b 2 a     y − Koordinate des Scheitels :   y s = c − b 2 4 a }  Scheitelpunkt S ( − b 2 a | c − b 2 4 a )

Beispielaufgabe: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Bringe Funktionsgleichung f(x) = 2x² + 8x + 5 in die Scheitelpunktform.

"Einfache" Ermittlung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Es gibt eine einfache und unkomplizierte Methode, die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung aus der allgemeinen Form zu ermitteln. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung wurden die folgenden Scheitelpunktkoordinaten bestimmt:

x s = − b 2 a   und  y s = c − b 2 4 a = f ( x s )  

Dieses Ergebnis kann nun für die Ermittlung der Scheitelpunktform herangezogen werden. Die Umwandlung der quadratischen Gleichung f(x) = ax² + bx + c in die Scheitelpunktform f(x) = a(x − xs)² + ys geschieht in 3 Schritten.

Beispielaufgabe 1: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Stelle die Funktionsgleichung f(x) = 2x² + 8x + 5 in der Scheitelpunktform dar.

Beispielaufgabe 2: Scheitelpunktform einer quadratischen Funktionsgleichung erstellen

Bringe die Funktionsgleichung f(x) = x² + 6x + 2 in die Scheitelpunktform.

Übung zu Quadratische Ergänzung

Stand
Autor/in
Josef Dillinger
Dr. Jochen Trenner